НОУ ІНТУЇТ | лекція | статистичне моделювання

3.4. Моделювання рівномірно розподіленої випадкової величини

Особливе значення в статистичному моделюванні має безперервна рівномірно розподілена випадкова величина. Особлива значимість цієї випадкової величини пояснюється тим, що, по-перше, вона сама по собі необхідна для моделювання випадкових процесів і величин і, по-друге, випадкові величини з іншими законами розподілу формуються на їх основі.

Визначення. Безперервна випадкова величина має рівномірний розподіл в інтервалі , Якщо її щільність ймовірності визначається так ( Мал. 3.9 ):

Мал.3.9.

Щільність ймовірності рівномірного розподілу

Значення характеристик рівномірного закону розподілу:

При моделюванні часто використовуються випадкові числа з інтервалу . Безперервна випадкова величина рівномірно розподілена в інтервалі , Якщо:

В цьому випадку .

Випадкове число з інтервалу легко перетворюється в випадкове число для інтервалу :

Стосовно до двійковим дробям випадкове число з інтервалу являє собою нескінченну дріб:

Очевидно, реалізувати таку дріб в комп'ютері неможливо, так як розрядна сітка комп'ютера обмежена. У комп'ютері можна формувати дискретні послідовності випадкових чисел, які не можуть відрізнятися один від одного тільки на величину менше ( - число розрядів в сітці комп'ютера). Тобто безперервного, "теоретичного" розподілу на комп'ютерах отримати не можна. Якщо ці числа рівноймовірно, то такий розподіл випадкових чисел називають квазіравномерним.

Зауважимо, що безперервні випадкові величини існують тільки в теорії. На практиці все випадкові величини дискретні і крок дискретності дорівнює найменшій одиниці виміру.

Випадкова величина , Що має квазіравномерное розподіл в інтервалі , Приймає значення

з вірогідністю .

Можна показати, що ця випадкова величина має характеристики:

Сучасні комп'ютери мають розрядність не менше 32. Отже, , А дисперсії теж практично збігаються. З огляду на це, в подальшому квазіравномерное розподіл будемо називати рівномірним і позначати: .

Для формування послідовності випадкових чисел в комп'ютері може використовуватися один з трьох основних способів:

• апаратний (фізичний);
• табличний (файловий);
• алгоритмічний (програмний).

Апаратний спосіб. При цьому способі випадкові числа формуються спеціальним пристроєм. Джерелом випадкових чисел найчастіше є шуми в електронних приладах. Тимчасові відстані між шумовими сплесками, що перевищують підібраний рівень обмеження, фіксуються як випадкові числа з розподілу .

Переваги такого способу:

• кількість випадкових чисел необмежено;
• не вимагає витрат оперативної пам'яті;
• вимагає малі обчислювальні ресурси комп'ютера.

Однак, такий датчик (генератор) випадкових чисел має суттєві недоліки, які в даний час виключили його з інженерної практики:

• труднощі налаштування;
• необхідність періодичної перевірки формується послідовності на відповідність закону розподілу;
• забезпечення стабільності умов роботи пристрою - харчування, вологості, температури, старіння приладів і елементів;
• при необхідності неможливо повторити експеримент при одній і тій же послідовності випадкових чисел.

Табличний спосіб. Випадкові числа у вигляді таблиці (файлу) поміщаються в оперативну або зовнішню пам'ять комп'ютера. Ці числа формуються заздалегідь або беруться з відповідного довідника. Перевагами такого способу є:

• числа вимагають одноразову перевірку при формуванні або недовіру джерела;
• можна повторювати обчислювальний експеримент при одній і тій же послідовності випадкових чисел.

Недоліки ж дуже істотні:

• кількість випадкових чисел обмежена;
• файл займає місце в оперативній пам'яті комп'ютера;
• при розміщенні у зовнішній пам'яті звернення за випадковими числами збільшує час моделювання.

Алгоритмічний спосіб. При цьому способі випадкові числа формуються за допомогою спеціальних алгоритмів (формул) і реалізують їх програм при кожному зверненні моделює алгоритму за випадковим числом. Переваги методу:

• в даний час пропонується досить алгоритмів, що генерують випадкові числа, перевірених практикою і, отже, не потребують особливих перевірках;
• можна багаторазово відтворити одну і ту ж послідовність;
• в пам'яті комп'ютера зберігається тільки програма датчика (генератора), що займає, як правило, малий обсяг;
• алгоритмічний датчик може бути реалізований і аппа-ратно, за рахунок чого істотно скорочується час формування випадкового числа і в цілому час моделювання.

недоліки:

• на формування випадкового числа при програмної реалізації датчика потрібні витрати машинного часу;
• будь-алгоритмічний датчик може згенерувати обмежена кількість неповторюваних чисел.

В даний час практично скрізь застосовуються алгоритмічні датчики випадкових чисел (ДСЧ). Створення високопродуктивних комп'ютерів істотно знижує роль першого недоліку (витрати машинного часу). Другий недолік усувається використанням в одній моделі декількох ДСЧ.

Алгоритмічні датчики не забезпечують отримання теоретично "чистої" випадковості чисел, так як їх формування йде за формулами. Внаслідок цього, рано чи пізно послідовність випадкових чисел стане повторюватися або виродиться. Останнє означає, що, починаючи з деякого числа, всі наступні числа дорівнюватимуть нулю.

Тому алгоритмічні датчики називають датчиками псевдовипадкових чисел. Сучасні датчики виробляють числа, псевдовипадковий яких практично невідчутна.

Якість алгоритмічного датчика оцінюється тим, наскільки повно він задовольняє наступним вимогам:

• закон розподілу формуються чисел повинен бути рівномірним (квазіравномерним);
• числа повинні бути статистично незалежними;
• числа не повинні повторюватися;
• формування чисел повинно займати мінімальний машинний час і мінімальний обсяг пам'яті.

Розуміючи, що алгоритмічний ДСЧ видає детерміновану, псевдослучайную послідовність квазіравномерно розподілених випадкових чисел, в подальшому будемо називати його датчиком випадкових рівномірно розподілених чисел.

Історично першим таким датчиком є ​​датчик, в якому був реалізований так званий "спосіб серединних квадратів". Суть методу полягає в наступному:

Такі ДСЧ тепер не використовуються: між числами є сильна кореляція, випадковість відсутня, при невдало обраному послідовність може швидко виродиться, тобто при .

В даний час дуже широке поширення в практиці моделювання отримав мультиплікативний метод формування випадкової послідовності:

де - довільне непарне число, невід'ємне;

- коефіцієнт, , - будь-яке ціле позитивне число;

- значення модуля. Для реалізації на комп'ютері зручно , де - основа системи числення (2 або 10), - число розрядів у випадковому числі.

В цьому випадку взяття числа по модулю зводиться до виділення молодших розрядів твори .

Алгоритм мультиплікативного методу

1. вибрати , Наприклад,
2. обчислити коефіцієнт . нехай , тоді .
3. вибрати модуль . Нехай система числення десяткова ( ), Розрядність випадкових чисел .
4. обчислити твір : .
5. Знайти залишок від ділення по модулю : .
6. Знайти число послідовності випадкових чисел з інтервалу : .
7. присвоїти і перейти до п. 4.

Розглянутий метод забезпечує прийнятну якість випадкових чисел в сенсі рівномірності розподілу і їх незалежності, а також простий реалізації на комп'ютері.

Застосовується і трохи більш складний алгоритм:

де - невід'ємне ціле число.

Такий метод називається конгруентно-мультиплікативний. При вдалому підборі додаткового параметра кореляція

формованих чисел може бути кілька зменшена в порівнянні з мультиплікативним методом.