• Главная
    • /
  • Блог
    • /
  • Наукова Мережа >> Курс лекцій І.М.Гельфанда з лінійної алгебри

Наукова Мережа >> Курс лекцій І.М.Гельфанда з лінійної алгебри

  1. 1 Визначення сполученого простору.
  2. 2 біортогональних (взаємні) базиси.
  3. 3 Взаємозамінність і.
  4. 4 Перетворення координат в і.
  5. 5 Простір, поєднане до евклидову.

Next: 24 тензори Previous: 4 Поняття про тензори

Subsections

1 Визначення сполученого простору.

нехай нехай - лінійний простір - лінійний простір. Одночасно з часто розглядають інше, тісно пов'язане з ним простір, так зване поєднане простір. Для того щоб сформулювати визначення сполученого простору, повернемося до поняття лінійної функції, введеному нами в п. 1 §4.

Лінійною функцією ми назвали функцію Лінійною функцією ми назвали функцію , задовольняє умовам: , задовольняє умовам:

1 1 , ,

2 2 .

нехай нехай - базис в вимірному просторі - базис в вимірному просторі . якщо

якщо

- вектор з - вектор з , То лінійна функція в може бути записана у вигляді (див , То лінійна функція в може бути записана у вигляді (див. §4)
де коефіцієнти , Що визначають лінійну функцію, обчислюються за формулами

Як це ясно з формули ( 1 ), При заданому базисі Як це ясно з формули ( 1 ), При заданому базисі всяким числах відповідає лінійна функція, до того ж лише одна всяким числах відповідає лінійна функція, до того ж лише одна.

нехай нехай і - лінійні функції і - лінійні функції. Їх сумою називається функція , Що ставить у відповідність кожному вектору число . Твором лінійної функції на число називається функція, яка має у відповідність кожному вектору число .

Очевидно, що сума лінійних функцій і твір лінійної функції на число є знову лінійна функція. При цьому, якщо лінійна функція Очевидно, що сума лінійних функцій і твір лінійної функції на число є знову лінійна функція задається числами , а - числами , то задається числами , , , , а - числами .

Таким чином, безліч заданих в Таким чином, безліч заданих в лінійних функцій утворює лінійний простір лінійних функцій утворює лінійний простір.

Визначення 23.1 Нехай Визначення 23 є -мірним простір. простором , зв'язаних до , Ми назвемо лінійний простір, векторами якого є лінійні функції, задані в . сума в визначається як сума лінійних функцій, а твір вектора з на число - як твір лінійної функції на число.

Так як при заданому базисі Так як при заданому базисі в просторі кожна лінійна функція однозначно задається системою чисел , Причому сумі функцій відповідає сума чисел, твору функції на твір чисел на , То ясно, що ізоморфно простору, в якому вектор визначений як сукупність чисел в просторі кожна лінійна функція однозначно задається системою чисел , Причому сумі функцій відповідає сума чисел, твору функції на твір чисел на , То ясно, що ізоморфно простору, в якому вектор визначений як сукупність чисел.

Значить, простір Значить, простір , Поєднане до -мірним простору , також -мірним , Поєднане до -мірним простору , також -мірним.

якщо простору якщо простору і розглядають одночасно, то вектори з називаються контраваріантнимі , А вектори з коваріантними і розглядають одночасно, то вектори з називаються контраваріантнимі , А вектори з коваріантними . Надалі символи означатимуть елементи з , Тобто контраваріантниє вектори, а - елементи з , Тобто коваріантні вектори.

2 біортогональних (взаємні) базиси.

Надалі ми будемо значення лінійної функції Надалі ми будемо значення лінійної функції в точці позначити через в точці позначити через . Таким чином, кожній парі і віднесено число , причому

1 1 , ,

2 2 , ,

3 3 , ,

4 4 .

Перше і друге з цих співвідношень - це записані в нових позначеннях рівності

і і є визначенням лінійної функції, а третє і четверте - визначення твори лінійної функції на число і суми лінійних функцій є визначенням лінійної функції, а третє і четверте - визначення твори лінійної функції на число і суми лінійних функцій. співвідношення 1 -4 нагадують за зовнішнім виглядом аксіоми 2 і 3 скалярного твори (§2). Треба лише підкреслити, що в той час, як скалярний твір є число, віднесене парі векторів одного і того ж (евклидова) простору, є число, віднесене парі векторів, один з яких належить аффинного простору , А інший - аффинного простору .

вектори вектори і ми назвемо ортогональними, якщо і ми назвемо ортогональними, якщо

Таким чином, хоча в афінному просторі Таким чином, хоча в афінному просторі (На відміну від евклидова) немає поняття ортогональності двох векторів , Можна говорити про ортогональності векторів з до векторів з (На відміну від евклидова) немає поняття ортогональності двох векторів , Можна говорити про ортогональності векторів з до векторів з .

Визначення 23.2 Нехай Визначення 23 - базис в , а - базис в . Ми назвемо ці базиси біортогональних (взаємними) , якщо


введемо символ введемо символ , поклавши , поклавши

введемо символ , поклавши

тоді тоді

якщо якщо - базис в , то є числами , Що визначають лінійну функцію [См - базис в , то є числами , Що визначають лінійну функцію [См. формулу ( 2 )], так як є інша форма запису виразу .

З цього зауваження випливає твердження:

якщо якщо - довільний базис в , То в існує, і до того ж тільки один, базис такий, що базиси і біортогональних (взаємні) - довільний базис в , То в існує, і до того ж тільки один, базис такий, що базиси і біортогональних (взаємні).

Дійсно, з рівності ( 3 ) маємо

Дійсно, з рівності ( 3 ) маємо

Таким чином, тут задані числа Таким чином, тут задані числа , , , , , , . Так як по всяких числах можна побудувати єдину лінійну функцію, то визначено, і при цьому однозначно. аналогічно визначається равенствами і т.д. побудовані вектори з (Лінійні функції) лінійно незалежні, так як відповідають кожному з них системи чисел лінійно незалежні між собою. Ми побудували, таким чином, базис, біортогональний базису і довели його єдиність.

Надалі ми будемо користуватися прийнятими в тензорному обчисленні позначеннями, а саме, якщо в деякому виразі один і той же індекс варто один раз вгорі, а інший раз внизу, то це означає, що за цим індексом проводиться підсумовування (від 1 до Надалі ми будемо користуватися прийнятими в тензорному обчисленні позначеннями, а саме, якщо в деякому виразі один і той же індекс варто один раз вгорі, а інший раз внизу, то це означає, що за цим індексом проводиться підсумовування (від 1 до ) ). Сам знак підсумовування ми при цьому будемо опускати.

наприклад, наприклад, означає означає .

маючи в маючи в і біортогональні базиси, легко обчислювати координати будь-якого вектора і біортогональні базиси, легко обчислювати координати будь-якого вектора. нехай і - біортогональні базиси. знайдемо координати вектора в базисі . Ми маємо

Звідси Звідси

Отже, координати Отже, координати вектора в базисі обчислюються за формулами вектора в базисі обчислюються за формулами

де де - базис, взаємний з базисом - базис, взаємний з базисом .

Аналогічно отримуємо, що координати Аналогічно отримуємо, що координати вектора в базисі обчислюються за формулами вектора в базисі обчислюються за формулами

нехай нехай і - два взаємних (біортогональних) базису і - два взаємних (біортогональних) базису. висловимо величину через координати векторів і в базисах і відповідно. нехай

нехай

і і тоді тоді

Отже, якщо Отже, якщо - базис в , - взаємний з ним базис в , то - базис в , - взаємний з ним базис в , то


де де - координати вектора в базисі , а - координати вектора в базисі - координати вектора в базисі , а - координати вектора в базисі .

зауваження Якщо зауваження Якщо і - довільні базиси в і відповідно, то і - довільні базиси в і відповідно, то

де де .

Ми бачимо, що у взаємних базисах значення Ми бачимо, що у взаємних базисах значення записується особливо просто записується особливо просто.


Отже, ми побудували відповідність, відносить кожному лінійному простору Отже, ми побудували відповідність, відносить кожному лінійному простору інший простір, а саме поєднане простір інший простір, а саме поєднане простір . Ми можемо тепер встановити відповідність між лінійними перетвореннями просторів.

нехай нехай - два лінійних простору і - простору, їм пов'язані - два лінійних простору і - простору, їм пов'язані. Кожному лінійному перетворенню простору в ми поставимо у відповідність лінійне перетворення простору в , Яке визначимо наступним чином.

нехай нехай , , . Розглянемо ; при фіксованому це лінійна функція від , Тобто може бути записана у вигляді , де . Покладемо по визначенню . отримується перетворення називається зв'язаним до . Отже, якщо - лінійне перетворення простору в , То поєднане йому перетворення є лінійне перетворення простору в , Що задається тотожністю

Отже, якщо - лінійне перетворення простору в , То поєднане йому перетворення є лінійне перетворення простору в , Що задається тотожністю

Встановимо одна важлива властивість операції переходу до парному перетворенню. нехай Встановимо одна важлива властивість операції переходу до парному перетворенню - лінійне перетворення простору в , - лінійне перетворення простору в . позначимо через композицію цих перетворень, тобто лінійне перетворення простору в (за визначенням для будь-якого ).

Покажемо, що

Справді, згідно з визначенням маємо: Справді, згідно з визначенням маємо: для будь-яких і З іншого боку, для будь-яких і З іншого боку, . Зіставляючи ці рівності, ми бачимо, що .

Вправа Довести, що лінійне перетворення, поєднане до Вправа Довести, що лінійне перетворення, поєднане до , є , є .

3 Взаємозамінність і.

У попередньому викладі У попередньому викладі і грали різну роль і грали різну роль. Ми покажемо, що вони абсолютно рівноправні, тобто що все теореми залишаться справедливими, якщо ми поміняємо і ролями.

ми визначили ми визначили як сукупність лінійних функцій в як сукупність лінійних функцій в . Щоб встановити рівноправність і , Доведемо, що будь-яка лінійна функція в може бути записана у вигляді , де - фіксований вектор з .

нехай нехай - деякий базис в і - взаємний з ним базис в - деякий базис в і - взаємний з ним базис в . лінійна функція може бути записана у вигляді

лінійна функція може бути записана у вигляді

де де - координати вектора в базисі - координати вектора в базисі . Розглянемо вектор , Що має в базисі координати . Тоді, як ми бачили в п.2, і, отже,

Ця формула встановлює взаємно однозначну відповідність між лінійними функціями Ця формула встановлює взаємно однозначну відповідність між лінійними функціями , Заданими в , І векторами , Заданими в , І векторами .

Ми можемо тому в усьому викладі вважати Ми можемо тому в усьому викладі вважати простором лінійних функцій над , Задаючи ці лінійні функції формулою ( 5 ) простором лінійних функцій над , Задаючи ці лінійні функції формулою ( 5 ). Цим встановлено повну рівноправність між і .


Зауважимо, що при одночасному вивченні простору і сполученого простору ми вживаємо лише звичайні для векторів операції додавання і множення на число в кожному просторі і операцію Зауважимо, що при одночасному вивченні простору і сполученого простору ми вживаємо лише звичайні для векторів операції додавання і множення на число в кожному просторі і операцію , Яка б пов'язала елементи обох просторів , Яка б пов'язала елементи обох просторів. Можна тому дати інше визначення пари сполучених просторів і , При якому їх рівноправність безпосередньо видно. Це визначення полягає в наступному: ми розглядаємо пару -мірних просторів і і кожній парі векторів , відносимо число , Вимагаючи при цьому, щоб виконувалися умови 1 -4 попереднього пункту і умова

5 5 з для будь-якого слід і із для будь-якого слід з для будь-якого слід і із для будь-якого слід .

Коротко кажучи, пара сполучених просторів Коротко кажучи, пара сполучених просторів і - це пара -мірних просторів з введеної додатково операцією , Що задовольняє перерахованим умовам і - це пара -мірних просторів з введеної додатково операцією , Що задовольняє перерахованим умовам.

Зауваження У п.2 ми довели, що для кожного базису в Зауваження У п існує і притому єдиний взаємний з ним базис в . З рівноправності між і випливає, що для будь-якого базису в існує і притому єдиний взаємний з ним базис в .

4 Перетворення координат в і.

Якщо ми розглядаємо координати векторів Якщо ми розглядаємо координати векторів в деякому базисі , То координати векторів ми будемо, як правило, розглядати в базисі , Взаємне до базису в деякому базисі , То координати векторів ми будемо, як правило, розглядати в базисі , Взаємне до базису . перейдемо в від базису до нового базису , і нехай
- формули цього переходу.

позначаючи через позначаючи через базис, взаємний з базисом , А через - базис, взаємний з базисом , Знайдемо матрицю переходу від базису до базису базис, взаємний з базисом , А через - базис, взаємний з базисом , Знайдемо матрицю переходу від базису до базису .

Знайдемо спочатку зворотну їй матрицю Знайдемо спочатку зворотну їй матрицю переходу від до : переходу від до :


Для цього обчислимо двома способами вираження Для цього обчислимо двома способами вираження : :

Для цього обчислимо двома способами вираження :

Звідси маємо Звідси маємо , Тобто матриця є транспонованою 5 , Тобто матриця є транспонованою 5.1 до матриці переходу ( 6 ). Отже, матриця переходу
від до дорівнює матриці, транспонованою до матриці, зворотної матриці переходу від до .

З'ясуємо тепер, як перетворюються координати векторів в З'ясуємо тепер, як перетворюються координати векторів в і в і в . нехай - координати вектора в базисі і - його координати в новому базисі .

тоді

тоді

і і Тому Отже, т Тому Отже,
т. е координати векторів в перетворюються за тими ж формулами, що і вектори взаємного базису в . Аналогічно, координати векторів в перетворюються за тими ж формулами, що і вектори взаємного базису в , Тобто

Ми можемо таким чином, сформулювати наступне правило: при переході від старої системи координат до нової об'єкти, що мають нижній індекс, перетворюються матрицею Ми можемо таким чином, сформулювати наступне правило: при переході від старої системи координат до нової об'єкти, що мають нижній індекс, перетворюються матрицею , Об'єкти, які мають верхній індекс, перетворюються матрицею , Зворотного до , Об'єкти, які мають верхній індекс, перетворюються матрицею , Зворотного до .

Той факт, що матриця Той факт, що матриця є зворотною до матриці , Виражається співвідношеннями є зворотною до матриці , Виражається співвідношеннями

Той факт, що матриця є зворотною до матриці , Виражається співвідношеннями

5 Простір, поєднане до евклидову.

Обмежимося для простоти евклідовому простором над полем дійсних чисел.

[Section] Для простоти розглядається евклідів простір над полем дійсних чисел

Лемма Нехай Лемма Нехай є -мірним евклидово простір є -мірним евклидово простір. Тоді кожну лінійну функцію в ньому можна записати у вигляді

Тоді кожну лінійну функцію в ньому можна записати у вигляді

де де - фіксований вектор, однозначно визначається лінійною функцією - фіксований вектор, однозначно визначається лінійною функцією . Назад, кожен вектор визначає лінійну функцію .

Доведення. виберемо в Доведення деякий ортогональний нормований базис . лінійна функція в цьому базисі може бути записана у вигляді

введемо вектор введемо вектор з координатами з координатами . Так як базис - прямокутний, то

Так як базис - прямокутний, то

Ми довели, таким чином, існування такого вектора Ми довели, таким чином, існування такого вектора , Що для будь-якого має місце рівність , Що для будь-якого має місце рівність

Доведемо тепер, що такий вектор визначається однозначно. нехай

і і тоді тобто для будь-якого тоді тобто для будь-якого . отже, . Однозначність доведена.

Таким чином, в разі евклідового простору ми можемо кожен елемент Таким чином, в разі евклідового простору ми можемо кожен елемент з замінити відповідним елементом з і при цьому замість писати з замінити відповідним елементом з і при цьому замість писати . Так як при одночасному вивченні простору і сполученого простору ми вживаємо лише звичайні для векторів операції і операцію , Яка б пов'язала елементи і , То ми можемо в разі евклідового простору замінити на , на і на , Тобто ототожнити евклидово простір з парним до нього простором 5.2 . Це висловлюють іноді і так: в евклідовому просторі можна замінити коваріантні вектори контраваріантнимі.

При такому ототожненні простору При такому ототожненні простору і сполученого до нього простору поняття ортогональності векторів і , Введене в пункті 2, переходить в звичайне для евклідового простору поняття ортогональності двох векторів з і сполученого до нього простору поняття ортогональності векторів і , Введене в пункті 2, переходить в звичайне для евклідового простору поняття ортогональності двох векторів з .

нехай нехай - довільний базис в , а - взаємний з ним (біортогональний) базис в - довільний базис в , а - взаємний з ним (біортогональний) базис в . Так як у випадку евклідового простору і ототожнені, то ми можемо вважати вектори біортогональних до базису також векторами з .

З'ясуємо, як нам знайти в цьому випадку по базису З'ясуємо, як нам знайти в цьому випадку по базису базис базис . висловимо спочатку через :

висловимо спочатку через :

Нам потрібно знайти коефіцієнти Нам потрібно знайти коефіцієнти . Для цього помножимо скалярно обидві частини рівності на :

Так як, в силу взаємності (біортогональних) базисів Так як, в силу взаємності (біортогональних) базисів і , і ,

то то

Отже, якщо базис Отже, якщо базис біортогонален до базису , то біортогонален до базису , то


де матриця де матриця обчислюється за формулою обчислюється за формулою

Звідси, дозволивши співвідношення ( 10 ) щодо Звідси, дозволивши співвідношення ( 10 ) щодо , Маємо: , Маємо:


де де - матриця, обернена до , Тобто - матриця, обернена до , Тобто

Вправа Показати, що


Next: 24 тензори Previous: 4 Поняття про тензори Vadim Yu.Radionov
2000-08-30
Подивитися коментарі

[2]