1.2. Очікуваний ризик портфеля. 1.2.1. ризик активу

Основоположними заходами ризику фінансового активу є такі показники як стандартне відхилення і дисперсія його прибутковості. Як синонім поняття стандартне відхилення використовують також термін "волатильність". Стандартне відхилення і дисперсія прибутковості активу говорять про ступінь можливого розкиду його фактичної дохідності навколо його середньої прибутковості. Дані заходи ризику можна визначити на основі минулих даних статистики прибутковості активу. Розглянемо техніку визначення дисперсії і стандартного відхилення прибутковості на прикладі акції.

Нехай є значення прибутковості акції за п років. За перший рік вона склала величину r1, за другий - r2, третій -r3 г3 і т.д., за п-й рік - rn. Розіб'ємо розрахунки на кілька кроків.

КРОК 1. Визначаємо середнє значення прибутковості акції за п років. Це просто середнє арифметичне значень її прибутковості за цей період:

КРОК 2. Визначаємо для кожного року відхилення фактичного значення прибутковості від її середньої прибутковості, і зводимо отримані дані в квадрат. Для першого року отримуємо: для другого року - і т. д., для n-го року - .

КРОК 3. Підсумовуємо квадрати відхилень:

КРОК 4. Ділимо отриману суму на кількість років:

величина є дисперсією прибутковості акції в розрахунку на рік. Як уже зазначалося, дисперсія є показником розсіювання фактичних значень прибутковості акції навколо її середньої прибутковості. Розмірність дисперсії являє собою квадрат прибутковості акції. Якщо у формулі ми враховуємо прибутковість у відсотках, то розмірність дисперсії - це відсоток в квадраті. Показником такої розмірності не завжди зручно користуватися, оскільки сама прибутковість акції вимірюється у відсотках. Тому з дисперсії витягають квадратний корінь і отримують стандартне відхилення прибутковості:

Стандартне відхилення вимірюється вже в процентах, тобто в тих же одиницях, що і сама прибутковість.

Якщо припустити, що при розрахунку дисперсії і стандартного відхилення ми врахували всі існуючі значення прибутковості, т. Е., Як кажуть, всю генеральну сукупність випадкової змінної, то отримана за формулою (1.5) дисперсія називається генеральної дисперсією, а стандартне відхилення у формулі (1.6 ) - генеральним стандартним відхиленням. Однак на практиці неможливо врахувати всі фактичні значення прибутковості акції, так як це безперервна випадкова величина. Тому оцінку даних показників проводять на основі тільки частини їх значень, тобто на основі деякої вибірки даних. Тоді в результаті розрахунку по формулі (1.5) отримують так звану вибіркову дисперсію.

Якщо в якості оцінки генеральної дисперсії прийняти вибіркову дисперсію, то вона буде приводити до систематичних помилок, занижуючи значення генеральної дисперсії. Це відбувається тому, що при розрахунку відхилення його вважають не від щирого середнього значення змінної, а від вибіркового. Вибіркове ж середнє безпосередньо знаходиться в центрі вибірки і тому відхилення від нього вибіркових даних в середньому менше, ніж від дійсного середнього значення змінної в генеральної сукупності. Щоб скорегувати дану похибка переходять до так званої виправленої дисперсії. Вона визначається за формулою:

Формула (1.7) відрізняється від формули (1.5) тільки знаменником. Дане коректування здійснюється для того, щоб отримати несмещенную оцінку генеральної дисперсії. Коригування є суттєвою, якщо оцінку дисперсії проводять на основі невеликої кількості даних. При великому обсязі вибірки відмінність в розрахунках буде незначним. На практиці користуються виправленою дисперсією, якщо кількість спостережень приблизно менше 30. Відповідно виправлене стандартне відхилення визначається за формулою:

Приклад.

Визначити вибіркове стандартне відхилення прибутковості акції, якщо її прибутковість за перший рік склала 20%, другий - 35%, третій - мінус 2%, четвертий - 15%, п'ятий - 10%.

Рішення.

КРОК 1. Визначаємо середню прибутковість акції:

КРОК 2. Визначаємо дисперсію прибутковості відповідно до формули (1.5):

КРОК 3. Визначаємо вибіркове стандартне відхилення прибутковості акції:

Розглядаючи техніку визначення стандартного відхилення і цифровий приклад, ми оперували тимчасовим періодом, що дорівнює році. На практиці виникає задача визначення стандартного відхилення для інших тимчасових періодів.

Якщо є значення стандартного відхилення за рік, то для визначення його за один день треба стандартне відхилення в розрахунку на рік розділити на корінь квадратний з кількості торгових днів в році. У році налічується близько 252 днів. Тому стандартне відхилення прибутковості активу за день отримаємо за формулою:

Так, стандартне відхилення прибутковості акції за один день в наведеному вище прикладі дорівнює:

Якщо ми визначаємо стандартне відхилення за деякий період на основі річного стандартного відхилення, то в загальному вигляді формула має такий вигляд:

Нехай у нашому прикладі потрібно визначити стандартне відхилення прибутковості акції за 50 днів. Відповідно до формули (1.9) воно становить:

Якщо відомо стандартне відхилення за один день, то визначити його в розрахунку на рік можна за формулою:

Відповідно стандартне відхилення за будь-який інший період часу (ст,) визначається за формулою:

Отримати стандартне відхилення за рік на основі його значення за деякий період t можна за допомогою такої формули:

На практиці волатильність часто визначають на основі даних про щоденну дохідність акції. Прибутковість акції за один день визначається за формулою:

Показник rt є першим статистичним спостереженням. Далі беруть ціну акції при закритті для дня t2 і визначають аналогічним чином прибутковість акції за другий день і т.д. На основі отриманих даних про щоденної дохідності за формулою стандартного відхилення визначають волатильність в розрахунку на один день. Потім за формулою (1.10) визначають волатильність в розрахунку на рік. Зазвичай в літературі показник стандартного відхилення наводиться в розрахунку на рік, якщо не сказано інше.

Зручність розрахунку стандартного відхилення на основі щоденних даних полягає в тому, що можна скористатися великою кількістю спостережень. У той же час, при визначенні волатильності за рік на основі значення волатильності за день можна допустити істотну погрішність. Вона буде особливо велика, якщо стандартне відхилення активу слід процесу "mean reversion" (повернення до середнього значення). "Mean reversion" означає, що волатильність активу в довгостроковій перспективі відчуває коливання навколо деякого середнього значення, а не зростає нескінченно пропорційно величині \ t.

На практиці прийнятний результат виходить, якщо розраховувати стандартне відхилення для більш тривалих періодів на основі більш коротких, використовуючи період часу до 10 днів. Так, визначивши волатильність в розрахунку на день, можна розрахувати волатильність для десятиденного періоду, помноживши отриману цифру на V10.

Коли інвестора цікавить волатильність за більш тривалі періоди, можна взяти минулі статистичні дані з необхідним інтервалом. Наприклад, інвестор визначає волатильність для одного місяця. Тоді необхідно взяти спостереження за попередні періоди часу по 30 днів. Причому, щоб виключити автокорреляцію9, слід використовувати не перетинаються тимчасові періоди. Незручність такого підходу при розрахунку волатильності для великих періодів полягає в тому, що доводиться використовувати спостереження за кілька попередніх років. При визначенні стандартного відхилення в розрахунку на місяць хорошу оцінку ризику можна отримати, якщо врахувати помісячні дані прибутковості за період, що не менше трьох років.

Прибутковість активу є випадковою величиною і тому може приймати різні значення. Якщо значення змінної змінюються в часі невизначеним чином, то кажуть, що вона слід стохастическому, т. Е. Вероятностному процесу. Значення змінної можуть змінюватися дискретно або безперервно. У першому випадку величина змінної змінюється тільки на певну (дискретну) величину, у другому - може приймати будь-які значення в рамках деякого діапазону.

Значення однієї змінної можуть змінюватися тільки в певні моменти часу, інший - в будь-який час. Тому виділяють відповідно дискретний і безперервний стохастичні процеси.

Прибутковість активу є безперервною випадковою величиною і підпорядковується деякого імовірнісного розподілу. Найбільш часто в житті зустрічається нормальний розподіл. Воно виникає в тому випадку, коли на випадкову величину впливає безліч факторів, кожен з яких не має визначального значення. Графік кривої нормального розподілу (його ще називають графіком щільності ймовірності) випадкової величини наведено на рис. 1.3. По осі абсцис представлена ​​область можливих значень випадкової величини X, по осі ординат - щільність розподілу ймовірностей випадкової величини X. В узагальненому вигляді можна дати наступне визначення щільності ймовірності: це ймовірність, що припадає на одиницю довжини відрізка, на якому може приймати значення випадкова величина. Якщо бути більш точним, то вона характеризує як би щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці.

Щільність розподілу f (x) є однією з форм закону розподілу випадкової величини, але існує тільки для безперервних випадкових величин.

Графік кривої нормального розподілу симетричний відносно середнього значення випадкової величини, яке називають ще математичним очікуванням випадкової величини. На графіку точка а є математичним очікуванням випадкової величини X. Сама випадкова величина може приймати будь-які негативні і позитивні значення. Права і ліва гілки графіка асимптотично наближаються до осі абсцис. Вся площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці. Якщо нас цікавить ймовірність попадання випадкової величини на будь-якої інтервал осі абсцис, то вона буде дорівнює площі фігури, обмеженої зверху кривою розподілу, знизу - віссю абсцис, з боків - перпендикулярами, що проходять через кінці інтервалу. Так, ймовірність попадання випадкової величини X на відрізок (х2х {) (див. Рис. 1.3) дорівнює площі фігури, заштрихованої косими пунктирними лініями. Нормальний розподіл повністю визначається двома характеристиками випадкової величини - її математичним очікуванням і стандартним відхиленням. Таким чином, знаючи математичне очікування і стандартне відхилення випадкової величини, ми маємо повну картину ймовірного розподілу її можливих значень.

Стандартне відхилення характеризує ступінь розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення. Крім цього, воно говорить про ймовірності того, що значення випадкової змінної виявиться в деякому інтервалі. Для нормально розподіленої випадкової величини корисно запам'ятати так зване "правило трьох сигм". Воно говорить про те, що ймовірність отримати значення випадкової змінної в діапазоні одного стандартного відхилення від її середньої величини одно 68,3%, в діапазоні двох стандартних відхилень - 95,4%, трьох стандартних відхилень - 99,7%. Залишається ще 0,3% ймовірності того, що випадкова величина прийме будь-яке інше значення, що виходить за рамки зазначених меж.

Чи знаєте Ви, що: Ви можете виграти $ 100- $ 1000 або iPhone Xs, взявши участь в безкоштовному щомісячному конкурсі на демо-рахунках від NPBFX.

Проілюструємо це правило на основі прикладу з розрахунку волатильності, який був наведений вище. Середнє значення, тобто математичне очікування дохідності акції дорівнювало 15,6%, а стандартне відхилення прибутковості в розрахунку на рік - 12,14%. Згідно з правилом трьох сигм, інвестор має право очікувати, що з імовірністю 68,3% прибутковість акції через рік буде розташовуватися в інтервалі від 15,6% ± 12,14%, тобто від 3,46% до 27,74%. З ймовірністю 95,4% цей інтервал складе 15,6% ± 2 * 12,14%, тобто від -8,68% до 39,88%. З ймовірністю 99,7% інтервал можливої ​​прибутковості буде дорівнює 15,6% ± 3 * 12,14% або від -20,82% до 52,02%. Залишаються ще 0,3% ймовірності того, що акція принесе як набагато більш високу так і низьку прибутковість.

Таким чином, стандартне відхилення прибутковості активу виступає мірою ступеня і ймовірності розкиду її можливих значень навколо її середньої прибутковості.

Стандартне відхилення є мірою ризику зміни прибутковості активу. Знаючи цю величину, інвестор може вибирати між більш-менш ризикованими паперами. Наприклад, є дві акції - А і В. Їх середня прибутковість однакова і дорівнює 30%, так як це просто середня арифметична їх доходностей за певний період часу. У той же час, стандартне відхилення в розрахунку на рік акції А дорівнює 10%, акції В - 15%. Це означає, що акція В ризикованіше паперу А. З огляду на правило трьох сигм, інвестор має право очікувати, що з імовірністю 68,3% через рік він може отримати по папері А прибутковість в діапазоні від 20% до 40%, а по папері В - від 15% до 45%. Тому більш консервативний вкладник вибере папір А, а більш схильний до ризику - папір В.

Дисперсію як міру ризику ввів в теорію портфеля цінних паперів основоположник сучасної теорії портфеля Г.Марковец. Певним недоліком даної міри ризику є те, що вона однаково враховує відхилення в прибутковості активу від його середньої прибутковості як в сторону збільшення, так і зниження. У той же час інвестора, який купив фінансовий актив, турбує саме зниження його прибутковості. Зростання прибутковості по суті не є для нього ризиком. Тому пізніше Г.Марковец запропонував в якості міри ризику показник полудісперсіі. Вибіркова полудісперсія визначається за формулою:

Формула (1.11) відрізняється від формули (1.5) тільки тим що при розрахунку показника полудісперсіі враховуються тільки значення прибутковості активу, які менше його очікуваної прибутковості. Таким чином, інвестори отримують уявлення про ризик втрат в більш прямій формі, ніж при розрахунку дисперсії. У той же час дана міра ризику не завжди буде мати перевагу в порівнянні з дисперсією. Так, якщо прибутковість активу розподілена нормально, то полудісперсія дорівнює половині дисперсії, оскільки нормальний розподіл симетрично щодо свого середнього значення. Тому використання в цьому випадку полудісперсіі замість дисперсії не дає інвестору кращого уявлення про ризик активу. Відповідно байдуже, яку міру ризику розраховувати. У той же час більш зручно використовувати дисперсію, так як це більш проста для розрахунку і знайома з математики багатьом інвесторам величина.

Використання полудісперсіі виправдано щодо активів, прибутковість яких не характеризується нормальним розподілом, наприклад похідних інструментів.

На закінчення даного параграфа слід також відзначити, що дисперсію активу можна розраховувати і на основі прогнозів інвестора щодо кон'юнктури майбутнього періоду. У цьому випадку інвестор оцінює можливі сценарії її розвитку. На цій основі він прогнозує значення майбутніх до-ходностей активу і задає їм суб'єктивні ймовірності. Наприклад, інвестор вважає, що в майбутньому періоді актив А принесе прибутковість гх з ймовірністю р {, прибутковість г2 з ймовірністю р2 і т.д. прибутковість гп з ймовірністю рп. Сума всіх ймовірностей дорівнює 100%. На основі цих даних за формулою (1.1) розраховується середня дохідність активу. Далі дисперсія визначається за формулою: