Френсіс Хілл "OpenGL. Програмування комп'ютерної графіки. Для професіоналів" стр.327

/ ** /?>

приклад 5.3.3

Яка матриця відповідає лг-обертанню на 45 °, наступного за ним г / -вращенію на 30 ° і подальшого пана обертанню на 60 °? Безпосереднє множення трьох складових матриць (обов'язково в «зворотному» порядку) дає наступний результат:

1 На честь Леонарда Ейлера (1707-1783), швейцарського математика надзвичайних здібностей, який зробив неоціненний внесок в усі розділи математики.

5.3. Тривимірні аффінниє перетворення Іноді використовують для створення складного повороту інший порядок «вирощений». Можна, наприклад, висловити поворот у формі # (Р,) Я2 (В2) КХФ3У- спочатку ДГ-обертання, потім z-обертання і потім г / -вращеніе. В силу некомутативності тривимірних поворотів для того, щоб отримати той же самий поворот, для даного перетворення потрібні інші кути Ейлера В ,, В2 і В3. Всього існує 12 можливих порядків проходження трьох окремих обертань, і в кожному з них використовуються різні величини В ,, В2 і В3.

Повороти навколо довільної осі При використанні кутів Ейлера ми виконуємо послідовність х-, у- і г-обертань, тобто вирощений навколо координатних осей. Однак працювати з поворотами було б набагато простіше, якби у нас була можливість здійснювати повороти навколо довільно спрямованої осі. Уявіть собі Землю або іграшковий дзига, що обертаються навколо похилої осі. Насправді в теоремі Ейлера стверджується, що кожен поворот може бути представлений в такій формі.

Теорема Ейлера. Будь поворот (або послідовність поворотів) навколо довільної точки еквівалентний однократному повороту навколо деякої осі, що проходить через цю точку1.

Що ж являє собою матриця такого повороту і чи буде зручно з нею працювати?

На рис. 5.28 показана вісь, представлена ​​вектором і, і довільна точка Р, яка після повороту на кут В навколо осі і повинна перейти в точку Q. Оскільки вектор і може мати будь-який напрямок, то на перший погляд було б важко знайти ту єдину матрицю, яка описує такий поворот. Однак насправді така матриця може бути знайдена двома різними методами, так званими класичними (classic) і конструктивним (constructive).