Ілюстративний відеокурс з лінійної алгебри: 11 уроків

Відеокурс з лінійної алгебри з великою кількістю анімацій буде корисний при створенні комп'ютерної графіки та вирішенні завдань ML.

Ці барвисті, прекрасно ілюстровані відеоуроки в Full HD дозволі, створені випускником Стенфорда Грантом Сандерсон , Будуть корисні всім, хто проходив або проходить курс з лінійної алгебри, але не до кінця відчув, навіщо це все потрібно і як працює.

Уроки йдуть в порядку, який передбачає їх послідовний перегляд - кожне наступне відео використовує знання та ілюстрації з попередніх. У цих уроках ви не знайдете розрахунків прикладів з задачников з лінійної алгебри та суворого докази теорем, однак визуализируете основні концепції лінійної алгебри, дії з векторами і матрицями. Все відео мають англійські авторські субтитри, при цьому перші п'ять також містять їх переклад на російську мову.

Завдання цього короткого курсу з 11 уроків - укласти в голові всю образну сторону питань, що лежать в основі лінійної алгебри за допомогою відео з анімацією. Знання в лінійної алгебри важливі для розуміння багатьох технічних дисциплін: computer science, статистики, аналізу даних, фізики, економіки і т. Д.

Однак студенти, які вивчили курс лінійної алгебри та механічно навчилися масі операцій, таких як матричне множення, знаходження визначника і власних чисел, зазвичай не становлять навіщо на практиці потрібні ці інструменти. Курс допоможе відчути лінійну алгебру на інтуїтивно зрозумілій геометричному рівні. Візуальні образи дозволять пропустити через себе основні концепції лінійної алгебри. Обчислення ж завжди можна довірити комп'ютеру.

В основі будь-якого курсу з лінійної алгебри лежить поняття про вектор. У першому уроці описуються три вистави вектора: з точки зору студента-фізика, студента-програміста і математика. Пояснюються поняття вектора в прив'язці до системи координат і запис у вигляді стовпця чисел. Вводяться операції додавання векторів і множення на скаляр: як геометрично, так і чисельно. Даються приклади використання операцій над векторами в аналізі даних і програмуванні комп'ютерної графіки.

У другому уроці вводиться поняття базису і базисних векторів i і j, а також лінійної оболонки як безлічі лінійних комбінацій векторів в двомірному і тривимірному просторах. Ілюструється уявлення векторів як точок, в яких розташовані кінці векторів, що виходять з центру системи координат. Вводяться поняття лінійно залежних і лінійно незалежних векторів.

У третьому уроці відеокурсу з лінійної алгебри показується геометрична інтерпретація лінійних перетворень (Відображень), що є найбільш простими з усіх нетривіальних перетворень. Початок координат залишається на своєму місці, а паралельні і рівновіддалені прямі лінії зберігають ці властивості при перетворенні. Через лінійні відображення базисних векторів природним чином можна ввести поняття матриці.

Як приклади автором знаходяться матриці для повороту вектора на 90 ° проти годинникової стрілки і нахилу вектора. Ілюструється також випадок, відповідний лінійно залежним базисних векторах, коли двовимірне простір вироджується в лінію.

Отже, множення матриці на вектор це фактично лінійне перетворення вектора. Але що, якщо до вектору застосовується кілька перетворень? Наприклад, в комп'ютерній графіці один за іншим кадри змінюють один одного, і одне зображення перетворюється в наступне. Таке відображення називають композицією перетворень. Як будь-яке перетворення, воно може бути описано матрицею.

Фактично воно є твором матриць відповідних лінійних відображень. В уроці ілюструється як сама операція множення матриць, так і представлення цієї операції через послідовні перетворення базисних векторів. Показується, чому важливий порядок множення однієї матриці на іншу.

У цьому відео лінійні перетворення на площині розширюються до випадку об'ємних відображень. Для цього використовуються вже три базисних вектора, а матриці лінійних перетворень мають розмірність 3х3. Перемноження таких матриць нічим не відрізняється від множення матриць 2х2.

У попередніх уроках ви могли помітити, що одні перетворення в лінійної алгебри розтягують простір, а інші стискають. Цікаво визначити число, яке показує як змінюється площа або об'єм будь-якої фігури при таких перетвореннях. У відео демонструються лінійні перетворення різних фігур і відповідну зміну їх площі.

Параметр цього зміни називають визначником (Детермінантом). Показується, чому рівність визначника нулю відповідає зменшенню розмірності простору, а негативне значення - зміни орієнтації простору. З геометричних міркувань пояснюється формула знаходження визначника.

На початку відео описується лінійна система рівнянь і її уявлення через матрицю і два вектора у вигляді A x = v, в якому ми знаємо матрицю A і вектор v. У геометричному ключі, шукаючи x, ми шукаємо вектор, який в результаті лінійного перетворення A співпаде з вектором v.

Таке завдання можна розглянути і в зворотному ключі: x це той вектор, в який перетворюється вектор v в результаті перетворення, зворотного A. Відповідне відображення позначають A-1. знаходження такої оберненої матриці дозволяє вирішити перше рівняння у вигляді x = A-1 v.

Урок містить безліч анімацій, що ілюструють цю концепцію. Описуються випадки ненульового і нульового визначників лінійного перетворення. вводиться поняття рангу матриці - кількості вимірів простору, в яке переводить вектор лінійне відображення.

Аналогічно тому, як в останніх відео за допомогою квадратних матриць відповідної розмірності було розглянуто перетворення двовимірних векторів в двовимірні і тривимірних в тривимірні, можливо і перетворення розмірності простору. У цьому відео ілюструється як співвідносяться розмірності таких прямокутних матриць і просторів, між якими відбувається лінійне відображення векторів.

У цьому відео дається алгебраїчне і геометричне визначення скалярного твори . Геометрична інтерпретація ілюструє той факт, що знак скалярного твори вказує на відношення напрямків двох векторів. При цьому, як підтверджують міркування, порядок множення не впливає на результат скалярного твори. Показується, що проекції вектора на різні осі є ніщо інше, як скалярні твори вектора з базисними векторами цих осей. Пояснюється, чому скалярний добуток векторів ідентично твору матриці-рядка на матрицю-стовпець.

геометричний сенс векторного твори двох векторів - вектор з довжиною, що дорівнює площі паралелограма між цими векторами. Напрямок вектора залежить від орієнтації простору. Відповідно при зміні порядку множників змінюється знак векторного твори. Таким чином, поняття векторного твори тісно пов'язане з визначенням детермінанта.

На початку цього відео для кращого розуміння автор навмисно спрощує картину, ускладнюючи її в міру розповіді. Показується як полегшується запис векторного твори, якщо сприймати його як визначник особливої ​​матриці, що складається з базисних векторів і координат перемножуєте векторів.

Відштовхуючись від останньої ідеї попереднього відео і декількох попередніх уроків, автор розкриває ідею векторного твори трьох векторів. Показується зв'язок між векторним і скалярними добутками в тривимірному просторі, а також зв'язок між геометричним і алгебраїчним поданням цих операцій.

Стандартно координати вектора розглядаються як скалярні числа, що описують яку кількість кожного з базисних векторів потрібно взяти, щоб в сумі отримати вектор з такими координатами. У цьому відеоуроці показано, що при виконанні певних умов базис може бути обраний по-різному. Базисні вектора лише задають сітку простору.

урок показує як перетворити координати одного базису до координат іншого за допомогою лінійних перетворень у вигляді матриць, що складаються з базисних векторів і зворотних матриць для зворотного перетворення. У заключній частині на прикладі повороту на 90 ° проти годинникової стрілки ілюструється як змінюються в термінах іншого базису лінійні перетворення. В результаті пояснюється, що означає характерне перемноження матриць виду A-1 MA.

Власні вектори і числа представляють одну з найменш інтуїтивно зрозумілих тим в лінійної алгебри. Однак в геометричному поданні це просто вектори, які не відхиляються від свого напрямку в результаті відповідного їм лінійного перетворення - вектори розтягуються або стискаються, але не повертаються навколо початку координат.

В цьому і полягає сенс відомого вислову A v = λ v - лінійне перетворення замінюється на число, зване власним. Фактично власні вектори і числа представляють інший спосіб розгляду лінійного перетворення.

В уроці також даються визначення діагональної і одиничної матриць. Показується логіка знаходження власних чисел і векторів через нульовий визначник. Ілюструється, в яких випадках можливі два, один, нуль або нескінченну кількість власних векторів.

У висновку відео описуються особливі властивості діагональних матриць і побудова нового базису на власних векторах. Остання операція часто застосовується в теорії машинного навчання для диагонализации матриць. В кінці відео дається невелику вправу для закріплення матеріалу.

У заключному відео курсу з лінійної алгебри автор повертається до питання першого уроку - що представляють собою вектори в самому абстрактному сенсі?

Функції та лінійні операції над функціями можна розглядати в векторному ключі. Будь-які оператори, для яких виконуються властивості аддитивности і мультипликативности, можна розглядати як лінійні перетворення. При цьому замість базисних векторів можна використовувати базисні функції.

В уроці ця ідея ілюструється на прикладі записи полінома, що складається з будь-якого числа доданків, у вигляді вектора. Показується як операція взяття похідної може бути реалізована за допомогою матричного оператора, що діє на такий вектор.

Перекладаючи концепції з інших областей математичного знання (різних векторних просторів ) На мову лінійної алгебри і склавши відповідні рівняння, розглянуті в курсі властивості векторів і лінійних відображень можна узагальнювати на інші галузі знання.